Click 12 – Sei grande, grande, grande

  • 15 Luglio 2018

Un calcolo facile da fare è sommare le potenze di 2. Intanto chiariamo cosa si intende con la definizione potenze di 2: sono i numeri 1, 2, 4, 8, 16… e ognuno dei numeri è il doppio del precedente. Le proprietà delle potenze si studiano alle medie, ma vediamo di scoprire qualcosa di più. Il primo valore, cioè 1, equivale a 2 elevato alla 0, mentre per conoscere gli esponenti di tutti gli altri bisogna contare quanti 2 si devono moltiplicare per ottenerli. Ad esempio, per ottenere 16 bisogna moltiplicare fra loro quattro 2, cioè 2x2x2x2=16, e si dice in questo caso che 2 elevato alla 4 vale 16. Ebbene, per fare la somma di alcuni di questi numeri, ad esempio 1+2+4+8+16+32+64, basta calcolare quale sarebbe il successivo numero della serie (in questo caso 64×2=128), e togliere 1, quindi 1+2+4+8+16+32+64=127. Potete provare per credere.

Adesso ricordiamo l’episodio dell’invenzione degli scacchi: un ricco sceicco, grato per la scoperta, voleva premiare in qualche modo il creatore di questo gioco, e gli chiese quale desiderio potesse esaudirgli.

“Dammi un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così via” fu la risposta.

Allora questo signore gli fece portare alcuni sacchi di grano, pensando che potessero bastare, ma facendo i conti… ci si accorge che non è proprio così.

Per saper quanti chicchi ci sono in tutto si deve fare la somma delle potenze di 2, fino a 2 alla 63 (fino a 2 alla 63, non alla 64, poiché si parte da 2 alla 0). E questa somma, l’abbiamo visto prima, vale (2 elevato alla 64) meno 1.

E ora faremo, con molta calma, la valutazione di questo valore, cioè 2x2x2x2… con 64 fattori 2. Chi conosce le proprietà delle potenze lo può facilmente dimostrare, ma noi studieremo il caso come se non le conoscessimo. Raggruppando a gruppi di 10 tutti questi 2, possiamo ottenere (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) x (2x2x2x2). Tutti i gruppi contengono dieci fattori 2, tranne l’ultimo, che ne contiene 4. I primi gruppi quindi valgono ciascuno 1024, cioè appena un po’ più di 1000. Quindi il calcolo da fare vale circa 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 16. Vediamo di valutare quanto grande è questo numero.

Sul tavolo ho un dado da gioco. Ad occhio ha il lato di un centimetro, quindi lo prendo come punto di partenza. Ne prendiamo mille: quanto posto occuperanno? Se li sistemiamo bene, occorrerà una scatola quadrata di lato 10 centimetri; 10 dadi in altezza, 10 di base e 10 di profondità fa proprio 1000. Moltiplichiamo per il secondo fattore 1000, cioè procuriamoci 1000 scatole di lato 10 cm, che occuperanno uno scatolone di lato un metro. Moltiplichiamo questo scatolone per il terzo fattore 1000, cioè procuriamoci 1000 scatoloni cubici di lato 1 metro, e occuperanno un capannone cubico di lato 10 metri. Immaginiamo di avere questo capannone davanti a noi. Ebbene, moltiplicando per il quarto fattore 1000, otteniamo 1000 capannoni, che occuperanno una bella città, tutta fatta di capannoni pieni di dadi. Ora moltiplichiamo per il quinto fattore 1000, e otteniamo 1000 città piene di capannoni pieni di scatoloni pieni di scatole piene di dadi. Ovviamente 1000 città non sono poche: in Italia le province sono circa un centinaio, quindi immaginiamo che in ogni provincia italiana ci siano 10 città piene di capannoni ecc ecc. Dobbiamo ancora moltiplicare per il sesto 1000, e immaginiamo 1000 nazioni simili alla nostra, piene di città ecc ecc. Sulla Terra ci sono circa 200 Nazioni, quindi la Terra non basta per contenerle tutte. E poi dobbiamo ancora moltiplicare per 16. Il dado è un po’ più grande del chicco di grano, ma abbiamo fatto una stima corretta, ed effettivamente tutta la Terra non sarebbe sufficiente per il grano desiderato dal nostro amico.

Una partita a scacchi per rilassarci? 

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