Click 84 – Quanti pesci!

  • 6 Settembre 2019

Nel Vangelo di Giovanni, al capitolo 21, viene narrato l’episodio di una pesca miracolosa durante la quale gli apostoli, in un primo momento increduli, alla fine hanno portato a casa 153 grossi pesci. Chissà perché li hanno contati e precisato il loro numero… non ci saranno state mica anche quella volta le quote-pesce come oggi abbiamo le quote-latte? Io dico sempre che da un qualsiasi numero o qualsiasi parola si può trarre spunto per creare un commento o un problema. Vediamo se riusciamo anche in questo caso a tirare fuori qualcosa di curioso dal numero 153. Sì, è chiaro: è formato da tre cifre dispari e crescenti (1 3 5, anche se non scritte in questo ordine), ma vorrei qualcosa di più.

Mi sono accorto che 153 è dato dalla somma dei primi 5 fattoriali: 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153. Nota: il segno indicato dal punto esclamativo si legge “fattoriale” e indica il prodotto di tutti i numeri a partire da 1 fino al numero indicato. Così 7! = 1x2x3x4x5x6x7 = 5040. Nel nostro caso 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 1×2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + 1x2x3x4x5 = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153. Ok, è capitato che 153 sia la somma esatta di quei numeri come indicato, ma invece c’è una caratteristica del nostro numero che mi fa partire da 153 e arrivare nuovamente a 153. Vogliamo scoprirla? Se eleviamo alla terza potenza ciascuna delle cifre di 153 e sommiamo i risultati, otteniamo di nuovo 153. Infatti 1x1x1 + 5x5x5 + 3x3x3 = 1 + 125 + 27 = 153. Strano, no? Ebbene, ci sono altri tre numeri che hanno la medesima caratteristica, e due di essi sono 370 e 407. Si può verificare facilmente, calcolando 3x3x3 + 7x7x7 + 0x0x0 = 27 + 343 + 0 = 343 e 4x4x4 + 0x0x0 + 7x7x7 = 64 + 0 + 343 = 407. Ma quale sarà il quarto numero che ha la medesima proprietà? Potete pensarci; nel frattempo vi informo che ci sono numeri che hanno una caratteristica simile se guardiamo le quarte potenze, le quinte, e così via, e si può dimostrare che non possono esistere siffatti numeri con più di 60 cifre, e comunque, se si va a fare i calcoli, si trova che i due più grandi hanno 39 cifre, e sono 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.400 e 115.132.219.018.763.992.565.095.597.973.971.522.401: in questi numeri elevando ciascuna cifra alla 39-esima potenza e sommando i risultati ottenuti, si avrà nuovamente il numero di partenza. E se qualcuno ha pazienza di esaminare questi due mega-numeri, può trovare il quarto numero di tre cifre che prima non ho nominato. Questi due numeri infatti sono quasi uguali, tranne che per l’ultima cifra: uno termina per 0 e uno per 1. Analogamente, avevamo 370 che termina per 0 e ci dovrà essere anche il 371 che termina per 1. Se pensiamo un attimo ai calcoli da fare, potremo comprendere facilmente che per ogni numero che termina per 0 con la caratteristica succitata, ci sarà anche il numero seguente che termina per 1. Curioso, no?

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