Click 107 – Il quadrato magico

  • 14 Novembre 2019

Una celebre incisione di Albrecht Dürer è “Melencolia”. In essa si nota, in alto a destra, un quadrato magico di ordine 4, cioè un diagramma di sedici caselle (4×4), tale che la somma di tutti i numeri lungo una qualunque linea orizzontale, verticale o diagonale, fa sempre lo stesso totale.

Se vi sembra facile, provate a comporre un tale quadrato utilizzando i numeri da 1 a 16. Altrimenti potete cominciare con qualcosa di più semplice, cioè con uno schema di lato 3, e quindi di 9 caselle, nel quale andranno sistemati i nove numeri da 1 a 9.

Intanto bisogna scegliere quanto potrebbe valere la somma di ogni riga. Non tutti i totali vanno bene, anzi, solo uno è valido, e ora lo calcoliamo. Nelle tre righe vanno tutti i numeri da 1 a 9. La somma di questi numeri vale 45, quindi la costante magica deve valere 15; in questo modo mettendo una somma di 15 nella prima riga, 15 nella seconda e 15 nella terza, si sistema effettivamente tutta la somma a disposizione, cioè 45.

Ora dobbiamo sistemare qualche numero: pensiamo chi, tra i numeri da 1 a 9, potrebbe occupare la casella centrale. Quella casella fa parte di 4 somme: una verticale, una orizzontale e le due diagonali. Ma un solo numero fa parte di 4 somme diverse, e questo numero è il 5: le somme sono 1+5+9, 2+5+8, 3+5+7, 4+5+6. Tra l’altro, possiamo notare la curiosità con la quale sono scritte queste quattro terne sulla tastiera di un computer: 1 5 e 9 sono in fila, e così gli altri numeri. Allora, siccome il 5 fa parte di 4 terne, è lui che occupa la casella centrale. Passiamo poi a ragionare sul numero 1, col quale si possono fare solo due somme: 1+5+9 e 1+6+8. Allora l’1 non può andare nelle caselle d’angolo, che sono attraversate invece da tre somme. E neppure il 9, per analogo motivo, può andare in una casella d’angolo.

Proseguendo con questi ragionamenti, si trovano le soluzioni, che sono: Prima riga 8 1 6 – Seconda riga 3 5 7 – Terza riga 4 9 2, oppure una rotazione di questa soluzione.

Queste nostre piccole scoperte possono darci spunto per fare un gioco ai nostri amici. Proponiamo una gara, per vedere chi compone nel minor tempo uno di tali schemi, e a chi ci è simpatico imponiamo che la costante magica sia 15, mentre a quelli antipatici affidiamo l’incarico di comporre lo schema con costante 14 o 16, ad esempio. E solo chi tenta di ottenere 15 riuscirà nell’intento.

Ah, dimenticavo: Dürer fra le varie combinazioni possibili, ha girato il quadrato nel suo quadro in modo che nell’ultima riga i numeri 15 e 14 appaiano accostati, in modo da formare 1514, cioè l’anno nel quale è stata creata l’opera. Come possiamo notare, i preziosismi che arricchiscono un lavoro si possono inventare sempre.

Approfondendo ulteriormente le nostre piccole scoperte, possiamo ottenere risultati inaspettati. Il mio amico Giuseppe Polone ha composto un’infinità di schemi di tutte le dimensioni, e ogni anno mi propone dei giochi sempre più complicati. Cercatelo su internet, e divertitevi a scoprire come funzionano i suoi quadrati magici. A proposito, il suo schema più grande ha oltre 60.000 caselle. Riuscite a scoprire quante, precisamente?

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