Click 118 – Quante informazioni abbiamo?

  • 20 Dicembre 2019

Certe volte ci può capitare di voler risolvere un problema serio, o anche un gioco, ma ci accorgiamo di avere meno informazioni di quante ne servono per giungere alla soluzione. Tra i testi di una gara matematica ho trovato questo problema che vi propongo ora, un po’ rimaneggiato nella formulazione. Ho chiesto ad un mio amico la sua data di nascita, e lui mi ha risposto di esser nato in un certo anno. Be’, visto che non davo segno di aver trovato la soluzione, lui aggiunge che l’anno successivo alla sua nascita è un numero divisibile per 2, l’anno successivo ancora è divisibile per 3, quello successivo è divisibile per 4, poi quell’altro è divisibile per 5 e quello dopo ancora divisibile per 6. Dalla pausa di attesa del mio amico, mi sembra di capire che a questo punto si dovrebbe riuscire a capire la sua data di nascita. Ma… come?

Chi ha piacere, può bloccarsi nella lettura di questo testo, e provare a trovare la soluzione per conto suo: non è complicato. Io non parto subito a fare calcoli, ma di solito mi soffermo a guardare il foglio con il testo, e cercare di vedere dove ci sono le informazioni utili, e come posso utilizzarle per trovare la soluzione, che di solito deve esserci, e deve essere unica.

Chiamando X l’anno di nascita del mio amico, che nel frattempo può esser diventato mio nemico, dopo l’enunciazione di questo problema, l’anno X+1 è divisibile per 2, X+2 è divisibile per 3, X+3 è divisibile per 4, X+4 è divisibile per 5, X+5 è divisibile per 6. Su quale numero ho più informazioni che degli altri? Sembrerà strano, ma quello sul quale ho più informazioni di tutti gli altri, è un numero non nominato neppure nel testo: X-1, cioè il numero precedente all’anno di nascita in questione. Vediamo perché. I numeri divisibili per 5 si susseguono ogni 5 valori: lo è 135, e lo sono anche 140, 145, 155… e anche 130, 125, 120… Allora, se X+1 è divisibile per 2, lo sarà anche quello che lo precede di 2 valori, cioè X-1; se X+2 è divisibile per 3, lo sarà anche quello che lo precede di 3 valori, cioè X-1. Con ragionamenti simili, scopriamo che X-1 (l’anno precedente alla data di nascita) deve essere divisibile per 2, per 3, per 4, per 5, per 6, cioè per il loro minimo comune multiplo, che è 60. Un numero divisibile per 60 che sia plausibile come anno di nascita di un nostro amico è 1980, quindi il mio amico è nato nel 1981. Possiamo ora facilmente verificare che 1982 è divisibile per 2, 1983 per 3, 1984 per 4, 1985 per 5 e 1986 per 6. Problema risolto!

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