Click 45 – I viaggiatori

  • 19 Marzo 2019

Sono reduce da Parigi, dove la Nazionale Italiana di matematica ha fatto una bellissima figura, la migliore di sempre, a mia memoria. A quanto pare, gli allenamenti che tengo un mese prima della finale servono a qualcosa. Sul sito della Bocconi si possono vedere i risultati. Tanti amici si informano da me, e mi chiedono quali siano questi famigerati testi che vengono proposti.

Innanzi tutto, spiego che il testo in genere è leggibile da tutti, cioè non ci sono termini conosciuti soltanto a universitari o specialisti. Per la soluzione invece ci vuole un’idea, una scoperta di qualche meccanismo che permetta di trovare la soluzione.

Allora presento un testo adatto agli studenti delle elementari e medie, e chi ha piacere, può intrattenere i propri amici con la ricerca della soluzione.

Un treno è composto da sette vetture poste una dietro l’altra. In ogni vettura prende posto almeno un passeggero. Due passeggeri sono considerati vicini se sono nella stessa vettura o in due vetture consecutive. Ogni passeggero ha o 5 o 10 vicini. Quanti viaggiatori ci sono in questo treno?

Chi ha piacere, può interrompere la lettura per cercare da solo la soluzione, altrimenti proseguiamo pure.

Come prima osservazione, una bella seccatura è che i dati sono “vaghi”: 5 o 10 vicini? Bisognerà vagliare entrambe le situazioni.

Ricordiamo che per trovare il numero di vicini, si deve togliere 1 dal numero di passeggeri del vagone stesso e da quelli consecutivi (cioè quello prima e quello dopo).

Prendiamo un viaggiatore del primo vagone: avrà 5 o 10 vicini. Però se ne avesse 10, allora ci sarebbero 11 viaggiatori in tutto nelle prime due carrozze, e quindi un passeggero della seconda carrozza avrebbe già 10 vicini, senza contare quelli della terza carrozza.

Quindi abbiamo visto che un passeggero della carrozza 1 ha 5 vicini, cioè nelle carrozze 1 e 2 ci sono in tutto 6 persone. Pensiamo adesso ad un passeggero della carrozza 2. Ha già vicini gli altri 5 passeggeri delle carrozze 1 e 2, e siccome c’è almeno un passeggero per vagone, ne avrà vicini in tutto 10, 5 dei quali nel vagone 3. Abbiamo scoperto allora che la carrozza 3 deve avere 5 viaggiatori. Con ragionamenti simili partendo dalla carrozza 7 si scopre che anche la carrozza 5 avrà 5 passeggeri. Pensiamo alla carrozza 4: sappiamo che un passeggero c’è perché ce lo dice il testo; questo passeggero ha vicini i 5 del vagone 3 e i 5 del vagone 5, e siamo a 10. Quindi non ci sono altri passeggeri nel vagone 4. Abbiamo questa situazione: vagone 3 = 5 passeggeri; vagone 4 = 1 passeggero; vagone 5 = 5 passeggeri. Passiamo ad un passeggero del vagone 3, che a questo punto ha vicini gli altri 4 del vagone 3 e quello del vagone 4, cioè 5 in tutto, e necessitano allora 5 viaggiatori nel vagone 2. Siccome avevamo detto che nei vagoni 1 e 2 ci sono in tutto 6 passeggeri, nel vagone 1 ci sarà un passeggero. Analogamente lavoriamo nella coda del treno e troviamo che i passeggeri sono, nell’ordine, 1, 5, 5, 1, 5, 5, 1, per un totale di 23.

Ho capito, la prossima volta parlerò di qualcosa che non sia matematica…

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