Click 49 – Infinito

  • 31 Marzo 2019

Il concetto di infinito ce l’abbiamo: lo spazio è infinito, il tempo è infinito (se non ci cade qualche meteorite…), ma non tutti riusciamo a fare le operazioni matematiche con il numero infinito. In realtà molte espressioni simili fra loro e contenenti il numero infinito, danno luogo a risultati diversissimi. Ad esempio infinito diviso infinito può fare nuovamente infinito, ma potrebbe fare anche 5, ad esempio.

Infinito e zero sono gli unici due valori che divisi per due danno nuovamente se stessi: se dividiamo zero caramelle fra due persone, ne toccheranno zero a testa; se dividiamo lo spazio infinito che ci circonda in due gruppi (emisfero boreale ed emisfero australe), ognuno dei due spazi è ancora infinito, e formato da tanto spazio, quanto ce n’era prima della divisione.

David Hilbert è stato un grande matematico, nato a Konisberg nel 1862. Nella stessa città sono nati anche il filosofo Immanuel Kant, e il matematico Golbach; anche gli studi di Eulero prendono il via da un esame dei ponti della medesima cittadina… decisamente è un luogo fortunato.

Ma parliamo di un’idea di Hilbert, che ha fatto studi sull’infinito e forse ha fornito anche risposte a problemi importanti.

Ecco un suo problema molto curioso.

C’è un hotel infinito, cioè con infinite stanze, in ciascuna delle quali c’è un ospite. Arriva un nuovo ospite: si riesce a sistemarlo? Sì, ci dice Hilbert, anche se tutte le stanze sono occupate: basta ordinare ad ogni ospite di passare nella stanza successiva e così chi occupava la 1 andrà nella 2, chi occupava la 2 andrà nella 3, e così via. A questo punto la stanza 1 è vuota e il nuovo ospite può occuparla.

E se arrivasse una corriera infinita, con infiniti viaggiatori? Hilbert dice che basterebbe ordinare ad ogni ospite di passare nella stanza avente numero doppio della stanza finora occupata: chi occupava la 1 andrà nella 2, chi occupava la 2 andrà nella 4, e così via. A questo punto tutte le stanze pari (che sono infinite) sono occupate dai vecchi ospiti, mentre quelle dispari (che sono infinite) sono libere per i nuovi ospiti.

Hilbert non si è fermato qui, e si chiede cosa succederebbe se arrivassero infinite corriere, ciascuna con infiniti viaggiatori, ma per oggi a noi basterà sapere che anche in questa situazione si riesce a sistemare tutti, anche se gli infiniti ospiti potranno prender sonno più tardi del solito…

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