Click 73 – Gauss ok, ma poi?

  • 1 Agosto 2019

Avevo già tempo fa parlato di Carl Friedrich Gauss, matematico e altro, famoso perché da giovane ha eseguito in pochi minuti il compito assegnato dal suo insegnante. Gauss forse ha avuto solo l’intuizione che si possa in qualche modo trovare una scorciatoia, una nuova regola, per ricavare in velocità la soluzione ad un problema che altrimenti avrebbe portato via metà giornata per la sua esecuzione. Forse questo spirito dimostrato da piccolo, ha aiutato Gauss a fare tante scoperte che poi l’hanno fatto diventare quel grande scienziato, fisico e astronomo che è diventato.

Ma vediamo qual è stata questa sua grande intuizione. Il maestro aveva assegnato il compito di sommare tutti i numeri interi da 1 a 100. Ora molti ragazzi appassionati di Giochi Matematici sanno il trucchetto, ma quella volta non era conosciuto. Allora Gauss ha scoperto che basta moltiplicare l’ultimo numero per il successivo e fare metà. In questo caso, basta calcolare 100×101:2 = 10100:2 = 5050. Con questo sistema, anche calcolare la somma dei primi 1000 o 10.000 numeri, diventa un gioco da ragazzi. Ripetiamo le clausole: occorre che i numeri da sommare siano tutti, a partire da 1, senza saltarne alcuno.

Sembra una bella regola, che i matematici indicano “n×(n+1)/2”. Bene, ma se pensiamo di fare qualche altro passo? Proviamo a elevare al quadrato il risultato, e cosa otteniamo? Per praticità, consideriamo un caso più semplice: faremo la somma di tutti i numeri da 1 a 10, che fa, come abbiamo visto, 10×11:2 = 55. Se eleviamo al quadrato 55, cosa otteniamo? Come risultato, otteniamo 3025, ma cosa significa? Può sembrare strano, ma questo numero, che è un quadrato, può saltare fuori anche con un altro meccanismo, e ora vediamo come. Questo numero si può ottenere anche sommando i cubi dei primi dieci numeri interi, cioè sommando il cubo di 1 (cioè 1), il cubo di 2 (cioè 8), il cubo di 3 (cioè 27) e via via fino al cubo di 10 (cioè 1000), otteniamo ugualmente 3025.

E questo vale per tutti i numeri. Possiamo fare anche il ragionamento al contrario. Se volessimo sommare i cubi dei primi 70 numeri (cioè 1+8+27+…+328.509+343.000), basterà fare la somma dei primi 70 numeri (che possiamo fare col “trucchetto”, e otteniamo 70×71:2 = 2485) ed elevare al quadrato, e otteniamo 6.175.225. Ok, non è semplice fare a mano, ma… con una calcolatrice si fa in un attimo. Se avessimo dovuto calcolare tutti i settanta cubi, e poi sommare, non sarebbe stato più laborioso?

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